Real Analysis 6 Figure Method Review

Best Binary Options Brokers 2020:
  • Binarium
    Binarium

    The Best Binary Options Broker 2020!
    Perfect Choice For Beginners!
    Free Demo Account!
    Free Trading Education!
    Get Your Sing-Up Bonus Now!

  • Binomo
    Binomo

    Only For Experienced Traders!

6M Method for Cause and Effect Analysis

Cause Effect

6M Method for Cause and Effect Analysis

It is recommended to categorize factors in cause and effect analysis so that readers can understand them better. During the discussion and draft phases of cause and effect analysis, the 6M method can be applied. The 6M stands for manpower, machinery, materials, methods, measurement and mother-nature. Below is the detailed illustration of the method.

1. Manpower. Whether the personnel’s technology proficiency and experience are up to standard? Does the staff have quality consciousness, sense of responsibility and disciplines?

2. Machinery. Check the facilities’ stability, functionality, such as the GPS device’s precision and the cooling and lubrication state of equipment. If the machinery is rusting or eroding, the production efficiency may decrease. Find out solutions to regularly maintain and repair equipment.

3. Materials. Think about the materials’ components, physical and chemical properties. Examine whether different parts match well. Are the material suppliers stable or not?

4. Method. To be more specific, the methodology, methods or techniques will affect the action’s result. Other factors concerned are workflow, choice of technical parameters, technical guidance and the preciseness and execution of workflow.

5. Mother-nature. In plain English, the environment in production field, including temperature, humidity, noise disturbance, vibrancy, lightening, and indoor pollution will all influence the products or service.

6. Measurement. When it comes to measurement, the following factors need to be considered for correct results: measurement gauge, measurement method, calibration, measurer’s fatigue, and readability of the results.

Cause and Effect Diagram Example

Here is an Ishikawa diagram about the causes of lab result delay. The reasons are categorized in the 6M method. You can download and use it directly.

This template is characterized by:

  1. Perfect layout with branches paralleled.
  2. Attached and movable text boxes enable easy information input and edition.
  3. Easy adding and deleting of branches for the attached connection points.
  4. Instant change of theme through which color, line and fill styles can all be enhanced with 1 click.
  5. Beautiful backgrounds are available, allowing quick and easy background change. Users just need to drag the predefined background out.

Cause and Effect Diagram Software

The above example is created by Edraw – an easy-to-use cause and effect diagram maker. It offers an easy way to generate fishbone diagrams to systematically review factors that affect or contribute to a given problem or effect. Simply open a template and add shapes from the library. The software is also accompanied with a set of editing tools for resizing, rotating, grouping, alignment and distribution, which greatly simplify the drawing process. Flexible and interactive presentation can be gained aided by the function supporting modification in full screen mode.

More Cause and Effect Diagram Examples

This is an example about the causes for employee resign. All the reasons are divided into two parts with a cross-functional shape: reasons from the perspective of employer and reasons from the perspective of employee.

The title of this template is highlighted by Vector text, which can be adjusted just like other Edraw shapes. A fish frame shape is used to surround all causes, making the diagram more vivid.

This is a relatively simpler fishbone diagram with limited number of causes. Thus, its layout is easy, locating all reasons on the left of the category shape, looking neat and organized.

Good book for self study of a First Course in Real Analysis

Does anyone have a recommendation for a book to use for the self study of real analysis? Several years ago when I completed about half a semester of Real Analysis I, the instructor used “Introduction to Analysis” by Gaughan.

While it’s a good book, I’m not sure it’s suited for self study by itself. I know it’s a rigorous subject, but I’d like to try and find something that “dumbs down” the material a bit, then between the two books I might be able to make some headway.

26 Answers 26

When I was learning introductory real analysis, the text that I found the most helpful was Stephen Abbott’s Understanding Analysis. It’s written both very cleanly and concisely, giving it the advantage of being extremely readable, all without missing the formalities of analysis that are the focus at this level. While it’s not as thorough as Rudin’s Principles of Analysis or Bartle’s Elements of Real Analysis, it is a great text for a first or second pass at really understanding single, real variable analysis.

If you’re looking for a book for self study, you’ll probably fly through this one. At that point, attempting a more complete treatment in the Rudin book would definitely be approachable (and in any case, Rudin’s is a great reference to have around).

For self-study, I’m a big fan of Strichartz’s book “The way of analysis”. It’s much less austere than most books, though some people think that it is a bit too discursive. I tend to recommend it to young people at our university who find Rudin’s “Principle of mathematical analysis” (the gold standard for undergraduate analysis courses) too concise, and they all seem to like it a lot.

EDIT : Looking at your question again, you might need something more elementary. A good choice might be Spivak’s book “Calculus”, which despite its title really lies on the border between calculus and analysis.

I like Terrence Tao’s Analysis Volume I and II. By his simple way of explaining things, this book must be readable by yourself.

You can see here http://terrytao.wordpress.com/books/ all his books along with the two, I mentioned above.

Bryant [1] would be my recommendation if you’re fresh out of the calculus/ODE sequence and studying on your own. If your background is a little stronger, then Bressoud [2] might be better. Finally, you should take a look at Abbott [3] regardless, as I think it’s the best written introductory real analysis book that has appeared in at least the past couple of decades.

[1] Victor Bryant, “Yet Another Introduction to Analysis”, Cambridge University Press, 1990.

[2] David M. Bressoud, “A Radical Approach to Real Analysis”, 2nd edition, Mathematical Association of America, 2006.

[3] Stephen Abbott, “Understanding Analysis”, Springer-Verlag, 2001.

Mathematical Analysis I & II by Vladimir A Zorich, Universitext – Springer.

“Principles of Mathematical Analysis” 3rd edition (1974) by Walter Rudin is often the first choice. This book is lovely and elegant, but if you haven’t had a couple of Def-Thm-Proof structured courses before, reading Rudin’s book may be difficult.

Thomas’s calculus also seems to fit well to your needs, as i myself had used that book and found it more appealing than Rudin’s

You might want to take a look at A Problem Text in Advanced Calculus by John Erdman. It’s free, well-written and contains solutions to many of the exercises. These attributes, in my opinion, make it particularly well-suited for self-study. One of the things that I particularly like about the text is the author’s use of o-O concepts to define differentiability. It simplifies some proofs dramatically (e.g., the Chain Rule) and is consistent across one-dimensional and n-dimensional spaces.

I recommend Mathematical Analysis by S. C. Malik, Savita Arora for studying real analysis. A very detailed and student friendly book!

The book of Bartle is more systematic; much clear arguments in all theorems; nice examples-always to keep in studying analysis.

I’ve recently discovered Lara Alcock’s ‘How to think about analysis’. It isn’t really a textbook, it’s more of a study guide on how to go about learning analysis, but I believe it also covers the key ideas.

I really like Fundamental Ideas of Analysis by Reed. It’s a friendly and clear introduction to analysis.

If you’ve had a strong course in Calculus, I highly recommend Advanced Calculus by G.B. Folland. It is well known that Folland’s an amazing expositor; this book serves well to introduce you to the crucial transition from Calculus to Real analysis. This book should also prepare you sufficiently in terms of maturity for you to then be able to appreciate Baby Rudin.

1) Introduction to Real Analysis by mapa-

The contents are systematically structured with enough attention given to each topic. Some of the topics included in the book are Set Theory, Real numbers, Sets in R, Real Functions, Sequence, Series, Limits, Continuity and Differentiation. The book also contains solved exercises to help the readers understand the basic elements of the topics discussed in the contents

2) Elements of Real Analysis by denlinger

Two best books for self-study. Rudin and bartle are good if you have an instructor or in college but for self understanding these are best.

I was recommended Introduction to Analysis by Mattuck. It was a bit difficult to use as it does not follow the progression other books (like Rudin or Apostol) follow. Maybe others can share more about their experience with this book, if they have used it.

Might not be a textbook but a very good supplement to a textbook would be the following book Yet Another Introduction to Analysis by Victor Bryant.

As a prerequisite the book assumes knowledge of basic calculus and no more.

This book may be a better starting point for some people.

For ones who read German, I strongly recommend Harro Heuser’s ‘Lehrbuch der Analysis Teil I’. There is also ‘Teil II’. I tried couple of other German text books, but gave up continuing due to many errors or lack of completeness, etc. Then a person recommended me this book.

This book is self-contained and proofs are quite error-free as well as well-written for novices, though personally there were couple of proofs which were difficult to grasp, e.g. Cantor’s Uncountability Proof and something else. The author tried to give proofs without the need of studying other subjects of mathematics, e.g. explaining compactness without referring to topology, which sometimes is a hard job. The author revised this book many times (lastest version is 17th edition). I feel sorry that the book has not been updated since the author has passed away in 2020. I recommend reading this book from the top to the bottom, even you have studied with another book before because the author builds up earlier proofs for later ones. I once tried to read from the middle, but gave up and re-started from the top.

The book also has good number of excercises and hints/solutions to selected problems at the end of the book, which I found good for self-learning.

This book assumes no prerequisites, but learnig other subjects parallely is always a good thing with math because it is hard to completely isolate a math subject from others.

I think Ross’ Elementary Analysis: The Theory of Calculus is a good introductory text. It’s very simple and well explained, but not quite at the level of Rudin’s Principles of Mathematical Analysis (for example, everything is done using sequences in Ross, versus a general topological setting for open and closed sets in Rudin). But, if you master it, you can pick up the necessary ancillaries from Rudin or similar pretty quickly. FWIW, Rudin is the standard text for undergrad real analysis.

Another good option is Hoffman’s Analysis in Euclidean Space. This was the book MIT used before Rudin arrived, and is a Dover book (so very cheap). I found its exposition to be comparable in level to Rudin, but easier to understand.

Finally, another book I can recommend is Hoffman’s Elementary Classical Analysis. This is similar in level to Rudin, but has a lot more material worked out for you. Theres also a tiny bit on applications, so if you’re an engineering/science student whose taking real analysis, it can be a bit helpful.

I read this question a month ago and I decided to go for three of the most suggested books: Abbott’ “Understanding Analysis”, Rudin’s “Principles of Mathematical Analysis”, and Kolmogorov and Fomin “Introductory Real Analysis”.

The one I liked most, and I ended up reading entirely, is Rudin’s one: I am a PhD student in engineering and I think the level of the book was perfect to me. Two critiques I have are: there is a general lack of comments (a bit too much “Theorem, Proof”) and there are no images. However, I found the book very clear and rigorous, especially the first 7 chapters. I definitely suggest it.

I really liked Abbott’s approach: he really makes you understand the logic of things, and you never get lost in the proofs. On the other hand the one thing I didn’t really like was the excessive use of exercises: every two pages some kind of proof is “left to the reader.” Sometimes also people that are not undergrads are going to read the book! Moreover this book treats only real numbers, and sometimes you lose the “big picture.”

I stopped Kolmogorov and Fomin’s book almost immediately. It was too much of an encyclopedia for me. But from the look I had, I bet it would be a great read if one has the time!

I found Real analysis by Frank Morgan published by AMS a very nice introduction and Methods of Real analysis by Richard Goldberg a next one.

I recommend Courant and John’s ‘An introduction to Calculus and Analysis’, volumes I and II. The authors give a rigorous treatment of their subject while still telling what motivates the ideas. Unlike many modern textbooks, they are not an sequence of definition-lemmas-theorems. These books emphasize ideas over structure. The authors’ distinguished careers in applied mathematics ensures that there are plenty of examples and diagrams to illustrate their point.

Volume I focuses on calculus on the real line while volume II teaches functions of several variables. On their way, they teach exterior differential forms, ODE, PDE and elementary complex analysis.

Those with an ‘applied’ bent of mind, who want to trace the origin of ideas, not lose touch with the sciences that motivated development of mathematics may find these venerable volumes more rewarding than the modern treatments.

I would recommend “Guide to Analysis” by Hart & Towers which is aimed at those making the transition from high school mathematics to university mathematics and university analysis in particular. This seems like the most sensible choice.

However, the classic text to study real analysis would be “Principles of Mathematical Analysis” by Rudin. If you have not studied much mathematics before it may be tough going.

There are horde of good books in all fields of mathematic. What you need is something you can learn from, not only the best and most glorious of this books. Books with so much problems and exercises with their hints and solutions are very appetizing. But what you really need is a mature and deep grasping of basics and concepts. After all thats all what you need to tackle this exercises with even a surprising ease and fun.

Analysis is among the most reachable field in math after high school, and a fare knowledge is required in most of the other fields for beginners.

I do understand the emphasize on solutions. I do because we all deal with self study, at least sometimes, and solutions and hints are crucial to make an evaluation of your own work. If you are really serious you will soon find out that what you really need are hints not solutions. Needless to say hints or solutions are supposed to be a last resort , when there seems to be no way out. Even then a hint is better taken only partially. And by the way : when tackling problems,It is when there seems be NO WAY OUT that the actual LEARNING process takes place.

I encourage you to take a deep look into The Trillia Groupe funded,and fee, Zakon’s books: Mathematical Analysis I which followed by another volume, but to get some basics ,Basic Concepts of Mathematics might be a good place to start. In the third mentioned book , this was mentioned:

Several years’ class testing led the author to these conclusions:

1- The earlier such a course is given, the more time is gained in the
follow- up courses, be it algebra, analysis or geometry. The longer students are taught “vague analysis”, the harder it becomes to get
them used to rigorous proofs and formulations and the harder it is
for them to get rid of the misconception that mathematics is just
memorizing and manipulating some formulas.

2- When teaching the course to freshmen, it is advisable to start with Sec- tions 1–7 of Chapter 2, then pass to Chapter 3, leaving Chapter 1 and Sections 8–10 of Chapter 2 for the end. The students should be urged to preread the material to be taught next. (Freshmen must learn to read mathematics by rereading what initially seems “foggy” to them.) The teacher then may confine himself to a brief summary, and devote most of his time to solving as many problems (similar to those assigned ) as possible. This is absolutely necessary.

3-An early and constant use of logical quantifiers (even in the text) is ex- tremely useful. Quantifiers are there to stay in mathematics.

4- Motivations are necessary and good, provided they are brief and do not use terms that are not yet clear to students.

In the second book , This was mentioned :

Several years’ class testing led us to the following conclusions:

1- Volume I can be (and was) taught even to sophomores, though they only gradually learn to read and state rigorous arguments. A sophomore often does not even know how to start a proof. The main stumbling block remains the ε, δ-procedure. As a remedy, we provide most exercises with explicit hints, sometimes with almost complete solutions, leaving only tiny “whys” to be answered. 2- Motivations are good if they are brief and avoid terms not yet known. Diagrams are good if they are simple and appeal to intuition.

3- Flexibility is a must. One must adapt the course to the level of the class. “Starred” sections are best deferred. (Continuity is not affected.) 4-“Colloquial” language fails here. We try to keep the exposition rigorous and increasingly concise, but readable. 5- It is advisable to make the students preread each topic and prepare ques- tions in advance, to be answered in the context of the next lecture. 6- Some topological ideas (such as compactness in terms of open coverings) are hard on the students. Trial and error led us to emphasize the se- quential approach instead (Chapter 4, §6). “Coverings” are treated in Chapter 4, §7 (“starred”). 7- To students unfamiliar with elements of set theory we recommend our Basic Concepts of Mathematics for supplementary reading. (At Windsor, this text was used for a preparatory first-year one-semester course.) The first two chapters and the first ten sections of Chapter 3 of the present text are actually summaries of the corresponding topics of the author’s Basic Concepts of Mathematics, to which we also relegate such topics as the construction of the real number system, etc.

I did not take this points very seriously, until i started reading and working on it. It is hard to find yourself completely stuck somewhere: It seams that all have been packed for a person who is learning on his own. Hints are provided anywhere whenever needed. In many occasions there are questions like “. Why?” which helps in following the text rigorously.

How to do thematic analysis

Date published September 6, 2020 by Jack Caulfield.

Thematic analysis is a method of analyzing qualitative data. It is usually applied to a set of texts, such as interview transcripts. The researcher closely examines the data to identify common themes – topics, ideas and patterns of meaning that come up repeatedly.

There are various approaches to conducting thematic analysis, but the most common form follows a six-step process:

Thematic analysis is a flexible method that can be adapted to the purposes of your research.

Table of contents

When to use thematic analysis

Thematic analysis is a good approach to research where you’re trying to find out something about people’s views, opinions, knowledge, experiences or values from a set of qualitative data – for example, interview transcripts, social media profiles, or survey responses.

Some types of research questions you might use thematic analysis to answer:

  • How do patients perceive doctors in a hospital setting?
  • What are young women’s experiences on dating sites?
  • What are non-experts’ ideas and opinions about climate change?
  • How is gender constructed in high school history teaching?

To answer any of these questions, you would collect data from a group of relevant participants and then analyze it. Thematic analysis allows you a lot of flexibility in interpreting the data, and allows you to approach large data sets more easily by sorting them into broad themes.

However, it also involves the risk of missing nuances in the data. Thematic analysis is often quite subjective and relies on the researcher’s judgement, so you have to reflect carefully on your own choices and interpretations.

Pay close attention to the data to ensure that you’re not picking up on things that are not there – or obscuring things that are.

Different approaches to thematic analysis

Once you’ve decided to use thematic analysis, there are different approaches to consider.

There’s the distinction between inductive and deductive approaches:

Best Binary Options Brokers 2020:
  • Binarium
    Binarium

    The Best Binary Options Broker 2020!
    Perfect Choice For Beginners!
    Free Demo Account!
    Free Trading Education!
    Get Your Sing-Up Bonus Now!

  • Binomo
    Binomo

    Only For Experienced Traders!

  • An inductive approach involves allowing the data to determine your themes.
  • A deductive approach involves coming to the data with some preconceived themes you expect to find reflected there, based on theory or existing knowledge.

Ask yourself: Does my theoretical framework give me a strong idea of what kind of themes I expect to find in the data (deductive), or am I planning to develop my own framework based on what I find (inductive)?

There’s also the distinction between a semantic and a latent approach:

  • A semantic approach involves analyzing the explicit content of the data.
  • A latent approach involves reading into the subtext and assumptions underlying the data.

Ask yourself: Am I interested in people’s stated opinions (semantic) or in what their statements reveal about their assumptions and social context (latent)?

After you’ve decided thematic analysis is the right method for analyzing your data, and you’ve thought about the approach you’re going to take, you can follow the six steps developed by Braun and Clarke.

Here’s why students love Scribbr’s proofreading services

Step 1: Familiarization

The first step is to get to know our data. It’s important to get a thorough overview of all the data we collected before we start analyzing individual items.

This might involve transcribing audio, reading through the text and taking initial notes, and generally looking through the data to get familiar with it.

Step 2: Coding

Next up, we need to code the data. Coding means highlighting sections of our text – usually phrases or sentences – and coming up with shorthand labels or “codes” to describe their content.

Let’s take a short example text. Say we’re researching perceptions of climate change among conservative voters aged 50 and up, and we have collected data through a series of interviews. An extract from one interview looks like this:

Coding qualitative data

Interview extract Codes
Personally, I’m not sure . I think the climate is changing , sure, but I don’t know why or how . People say you should trust the experts, but who’s to say they don’t have their own reasons for pushing this narrative ? I’m not saying they’re wrong, I’m just saying there’s reasons not to 100% trust them . The facts keep changing – it used to be called global warming .
  • Uncertainty
  • Acknowledgement of climate change
  • Distrust of experts
  • Changing terminology

In this extract, we’ve highlighted various phrases in different colors corresponding to different codes. Each code describes the idea or feeling expressed in that part of the text.

At this stage, we want to be thorough: we go through the transcript of every interview and highlight everything that jumps out as relevant or potentially interesting. As well as highlighting all the phrases and sentences that match these codes, we can keep adding new codes as we go through the text.

After we’ve been through the text, we collate together all the data into groups identified by code. These codes allow us to gain a a condensed overview of the main points and common meanings that recur throughout the data.

Step 3: Generating themes

Next, we look over the codes we’ve created, identify patterns among them, and start coming up with themes.

Themes are generally broader than codes. Most of the time, you’ll combine several codes into a single theme. In our example, we might start combining codes into themes like this:

Turning codes into themes

Codes Theme
  • Uncertainty
  • Leave it to the experts
  • Alternative explanations
Uncertainty
  • Changing terminology
  • Distrust of scientists
  • Resentment toward experts
  • Fear of government control
Distrust of experts
  • Incorrect facts
  • Misunderstanding of science
  • Biased media sources
Misinformation

At this stage, we might decide that some of our codes are too vague or not relevant enough (for example, because they don’t appear very often in the data), so they can be discarded.

Other codes might become themes in their own right. In our example, we decided that the code “uncertainty” made sense as a theme, with some other codes incorporated into it.

Again, what we decide will vary according to what we’re trying to find out. We want to create potential themes that tell us something helpful about the data for our purposes.

Step 4: Reviewing themes

Now we have to make sure that our themes are useful and accurate representations of the data. Here, we return to the data set and compare our themes against it. Are we missing anything? Are these themes really present in the data? What can we change to make our themes work better?

If we encounter problems with our themes, we might split them up, combine them, discard them or create new ones: whatever makes them more useful and accurate.

For example, we might decide upon looking through the data that “changing terminology” fits better under the “uncertainty” theme than under “distrust of experts,” since the data labelled with this code involves confusion, not necessarily distrust.

Step 5: Defining and naming themes

Now that you have a final list of themes, it’s time to name and define each of them.

Defining themes involves formulating exactly what we mean by each theme and figuring out how it helps us understand the data.

Naming themes involves coming up with a succinct and easily understandable name for each theme.

For example, we might look at “distrust of experts” and determine exactly who we mean by “experts” in this theme. We might decide that a better name for the theme is “distrust of authority” or “conspiracy thinking”.

Step 6: Writing up

Finally, we’ll write up our analysis of the data. Like all academic texts, writing up a thematic analysis requires an introduction to establish our research question, aims and approach.

We should also include a methodology section, describing how we collected the data (e.g. through semi-structured interviews or open-ended survey questions) and explaining how we conducted the thematic analysis itself.

The results or findings section usually addresses each theme in turn. We describe how often the themes come up and what they mean, including examples from the data as evidence. Finally, our conclusion explains the main takeaways and shows how the analysis has answered our research question.

In our example, we might argue that conspiracy thinking about climate change is widespread among older conservative voters, point out the uncertainty with which many voters view the issue, and discuss the role of misinformation in respondents’ perceptions.

Открытый курс машинного обучения. Тема 7. Обучение без учителя: PCA и кластеризация

Привет всем! Приглашаем изучить седьмую тему нашего открытого курса машинного обучения!

Данное занятие мы посвятим методам обучения без учителя (unsupervised learning), в частности методу главных компонент (PCA — principal component analysis) и кластеризации. Вы узнаете, зачем снижать размерность в данных, как это делать и какие есть способы группирования схожих наблюдений в данных.

UPD: теперь курс — на английском языке под брендом mlcourse.ai со статьями на Medium, а материалами — на Kaggle (Dataset) и на GitHub.

Видеозапись лекции по мотивам этой статьи в рамках второго запуска открытого курса (сентябрь-ноябрь 2020).

План этой статьи

0. Введение

Основное отличие методов обучения без учителя от привычных классификаций и регрессий машинного обучения в том, что разметки для данных в этом случае нет. От этого образуются сразу несколько особенностей — во-первых это возможность использования несопоставимо больших объёмов данных, поскольку их не нужно будет размечать руками для обучения, а во-вторых это неясность измерения качества методов, из-за отсутствия таких же прямолинейных и интуитивно понятных метрик, как в задачах обучения с учителем.

Одной из самых очевидных задач, которые возникают в голове в отсутствие явной разметки, является задача снижения размерности данных. С одной стороны её можно рассматривать как помощь в визуализации данных, для этого часто используется метод t-SNE, который мы рассмотрели во второй статье курса. С другой стороны подобное снижение размерности может убрать лишние сильно скоррелированные признаки у наблюдений и подготовить данные для дальнейшей обработки в режиме обучения с учителем, например сделать входные данные более “перевариваемыми” для деревьев решений.

1. Метод главных компонент (PCA)

Интуиция, теория и особенности применения

Метод главных компонент (Principal Component Analysis) — один из самых интуитивно простых и часто используемых методов для снижения размерности данных и проекции их на ортогональное подпространство признаков.

В совсем общем виде это можно представить как предположение о том, что все наши наблюдения скорее всего выглядят как некий эллипсоид в подпространстве нашего исходного пространства и наш новый базис в этом пространстве совпадает с осями этого эллипсоида. Это предположение позволяет нам одновременно избавиться от сильно скоррелированных признаков, так как вектора базиса пространства, на которое мы проецируем, будут ортогональными.

В общем случае размерность этого эллипсоида будет равна размерности исходного пространства, но наше предположение о том, что данные лежат в подпространстве меньшей размерности, позволяет нам отбросить “лишнее” подпространство в новой проекции, а именно то подпространство, вдоль осей которого эллипсоид будет наименее растянут. Мы будем это делать “жадно”, выбирая по-очереди в качестве нового элемента базиса нашего нового подпространства последовательно ось эллипсоида из оставшихся, вдоль которой дисперсия будет максимальной.

“To deal with hyper-planes in a 14 dimensional space, visualize a 3D space and say ‘fourteen’ very loudly. Everyone does it.” — Geoffrey Hinton

Рассмотрим как это делается математически:

Чтобы снизить размерность наших данных из в , нам нужно выбрать топ- осей такого эллипсоида, отсортированные по убыванию по дисперсии вдоль осей.

Начнём с того, что посчитаем дисперсии и ковариации исходных признаков. Это делается просто с помощью матрицы ковариации. По определению ковариации, для двух признаков и их ковариация будет

где — матожидание -ого признака.
При этом отметим, что ковариация симметрична и ковариация вектора с самим собой будет равна его дисперсии.

Таким образом матрица ковариации представляет собой симметричную матрицу, где на диагонали лежат дисперсии соответствующих признаков, а вне диагонали — ковариации соответствующих пар признаков. В матричном виде, где это матрица наблюдений, наша матрица ковариации будет выглядеть как

Чтобы освежить память — у матриц как у линейных операторов есть такое интересное свойство как собственные значения и собственные вектора (eigenvalues и eigenvectors). Эти штуки замечательны тем, что когда мы нашей матрицей действуем на соответствующее линейное пространство, собственные вектора остаются на месте и лишь умножаются на соответствующие им собственные значения. То есть определяют подпространство, которое при действии этой матрицей как линейным оператором, остаётся на месте или “переходит в себя”. Формально собственный вектор с собственным значением для матрицы определяется просто как .

Матрицу ковариации для нашей выборки можно представить в виде произведения . Из отношения Релея вытекает, что максимальная вариация нашего набора данных будет достигаться вдоль собственного вектора этой матрицы, соответствующего максимальному собственному значению. Таким образом главные компоненты, на которые мы бы хотели спроецировать наши данные, являются просто собственными векторами соответствующих топ- штук собственных значений этой матрицы.

Дальнейшие шаги просты до безобразия — надо просто умножить нашу матрицу данных на эти компоненты и мы получим проекцию наших данных в ортогональном базисе этих компонент. Теперь если мы транспонируем нашу матрицу данных и матрицу векторов главных компонент, мы восстановим исходную выборку в том пространстве, из которого мы делали проекцию на компоненты. Если количество компонент было меньше размерности исходного пространства, мы потеряем часть информации при таком преобразовании.

Примеры использования

Набор данных по цветкам ириса

Начнём с того, что загрузим все необходимые модули и покрутим привычный датасет с ирисами по примеру из документации пакета scikit-learn.

Теперь посмотрим, насколько PCA улучшит результаты для модели, которая в данном случае плохо справится с классификацией из-за того, что у неё не хватит сложности для описания данных:

Теперь попробуем сделать то же самое, но с данными, для которых мы снизили размерность до 2D:

Смотрим на возросшую точность классификации:

Видно, что качество возросло незначительно, но для более сложных данных более высокой размерности, где данные не разбиваются тривиально вдоль одного признака, применение PCA может достаточно сильно улучшить качество работы деревьев решений и ансамблей на их основе.

Посмотрим на 2 главные компоненты в последнем PCA-представлении данных и на тот процент исходной дисперсии в даных, который они “объясняют”.

Набор данных по рукописным цифрам

Теперь возьмем набор данных по рукописным цифрам. Мы с ним уже работали в 3 статье про деревья решений и метод ближайших соседей.

Вспомним, как выглядят эти цифры – посмотрим на первые десять. Картинки здесь представляются матрицей 8 x 8 (интенсивности белого цвета для каждого пикселя). Далее эта матрица “разворачивается” в вектор длины 64, получается признаковое описание объекта.

Получается, размерность признакового пространства здесь – 64. Но давайте снизим размерность всего до 2 и увидим, что даже на глаз рукописные цифры неплохо разделяются на кластеры.

Ну, правда, с t-SNE картинка получается еще лучше, поскольку у PCA ограничение – он находит только линейные комбинации исходных признаков. Зато даже на этом относительно небольшом наборе данных можно заметить, насколько t-SNE дольше работает.

На практике, как правило, выбирают столько главных компонент, чтобы оставить 90% дисперсии исходных данных. В данном случае для этого достаточно выделить 21 главную компоненту, то есть снизить размерность с 64 признаков до 21.

2. Кластеризация

Интуитивная постановка задачи кластеризации довольно проста и представляет из себя наше желание сказать: “Вот тут у меня насыпаны точки. Я вижу, что они сваливаются в какие-то кучки вместе. Было бы круто иметь возможность эти точки относить к кучкам и в случае появления новой точки на плоскости говорить, в какую кучку она падает.” Из такой постановки видно, что пространства для фантазии получается много, и от этого возникает соответствующее множество алгоритмов решения этой задачи. Перечисленные алгоритмы ни в коем случае не описывают данное множество полностью, но являются примерами самых популярных методов решения задачи кластеризации.

K-means

Алгоритм К-средних, наверное, самый популярный и простой алгоритм кластеризации и очень легко представляется в виде простого псевдокода:

  1. Выбрать количество кластеров , которое нам кажется оптимальным для наших данных.
  2. Высыпать случайным образом в пространство наших данных точек (центроидов).
  3. Для каждой точки нашего набора данных посчитать, к какому центроиду она ближе.
  4. Переместить каждый центроид в центр выборки, которую мы отнесли к этому центроиду.
  5. Повторять последние два шага фиксированное число раз, либо до тех пор пока центроиды не “сойдутся” (обычно это значит, что их смещение относительно предыдущего положения не превышает какого-то заранее заданного небольшого значения).

В случае обычной евклидовой метрики для точек лежащих на плоскости, этот алгоритм очень просто расписывается аналитически и рисуется. Давайте посмотрим соответствующий пример:

Также стоит заметить, что хоть мы и рассматривали евклидово расстояние, алгоритм будет сходиться и в случае любой другой метрики, поэтому для различных задач кластеризации в зависимости от данных можно экспериментировать не только с количеством шагов или критерием сходимости, но и с метрикой, по которой мы считаем расстояния между точками и центроидами кластеров.

Другой особенностью этого алгоритма является то, что он чувствителен к исходному положению центроид кластеров в пространстве. В такой ситуации спасает несколько последовательных запусков алгоритма с последующим усреднением полученных кластеров.

Выбор числа кластеров для kMeans

В отличие от задачи классификации или регресии, в случае кластеризации сложнее выбрать критерий, с помощью которого было бы просто представить задачу кластеризации как задачу оптимизации.
В случае kMeans распространен вот такой критерий – сумма квадратов расстояний от точек до центроидов кластеров, к которым они относятся.

здесь – множество кластеров мощности , – центроид кластера .

Понятно, что здравый смысл в этом есть: мы хотим, чтобы точки располагались кучно возле центров своих кластеров. Но вот незадача: минимум такого функционала будет достигаться тогда, когда кластеров столько же, сколько и точек (то есть каждая точка – это кластер из одного элемента).
Для решения этого вопроса (выбора числа кластеров) часто пользуются такой эвристикой: выбирают то число кластеров, начиная с которого описанный функционал падает “уже не так быстро”. Или более формально:

Видим, что падает сильно при увеличении числа кластеров с 1 до 2 и с 2 до 3 и уже не так сильно – при изменении с 3 до 4. Значит, в данной задаче оптимально задать 3 кластера.

Сложности

Само по себе решение задачи K-means NP-трудное (NP-hard), и для размерности , числа кластеров и числа точек решается за . Для решения такой боли часто используются эвристики, например MiniBatch K-means, который для обучения использует не весь датасет целиком, а лишь маленькие его порции (batch) и обновляет центроиды используя среднее за всю историю обновлений центроида от всех относящихся к нему точек. Сравнение обычного K-means и его MiniBatch имплементации можно посмотреть в документации scikit-learn.

Реализация алгоритма в scikit-learn обладает массой удобных плюшек, таких как возможность задать количество запусков через параметр n_init , что даст более устойчивые центроиды для кластеров в случае скошенных данных. К тому же эти запуски можно делать параллельно, не жертвуя временем вычисления.

Affinity Propagation

Ещё один пример алгоритма кластеризации. В отличие от алгоритма К-средних, данный подход не требует заранее определять число кластеров, на которое мы хотим разбить наши данные. Основная идея алгоритма заключается в том, что нам хотелось бы, чтобы наши наблюдения кластеризовались в группы на основе того, как они “общаются”, или насколько они похожи друг на друга.

Заведём для этого какую-нибудь метрику “похожести”, определяющуюся тем, что s(x_i, x_k)$” data-tex=”inline”> если наблюдение больше похоже на наблюдение , чем на . Простым примером такой похожести будет отрицательный квадрат расстояния .

Теперь опишем сам процесс “общения”. Для этого заведём две матрицы, инициализируемые нулями, одна из которых будет описывать, насколько хорошо -тое наблюдение подходит для того, чтобы быть “примером для подражания” для -того наблюдения относительно всех остальных потенциальных “примеров”, а вторая — будет описывать, насколько правильным было бы для -того наблюдения выбрать -тое в качестве такого “примера”. Звучит немного запутанно, но чуть дальше увидим пример “на пальцах”.

После этого данные матрицы обновляются по очереди по правилам:

Спектральная кластеризация

Спектральная кластеризация объединяет несколько описанных выше подходов, чтобы получить максимальное количество профита от сложных многообразий размерности меньшей исходного пространства.

Для работы этого алгоритма нам потребуется определить матрицу похожести наблюдений (adjacency matrix). Можно это сделать таким же образом, как и для Affinity Propagation выше: . Эта матрица также описывает полный граф с вершинами в наших наблюдениях и рёбрами между каждой парой наблюдений с весом, соответствующим степени похожести этих вершин. Для нашей выше выбранной метрики и точек, лежащих на плоскости, эта штука будет интуитивной и простой — две точки более похожи, если ребро между ними короче. Теперь нам бы хотелось разделить наш получившийся граф на две части так, чтобы получившиеся точки в двух графах были в общем больше похожи на другие точки внутри получившейся “своей” половины графа, чем на точки в “другой” половине. Формальное название такой задачи называется Normalized cuts problem и подробнее про это можно почитать тут.

Агломеративная кластеризация

Наверное самый простой и понятный алгоритм кластеризации без фиксированного числа кластеров — агломеративная кластеризация. Интуиция у алгоритма очень простая:

  1. Начинаем с того, что высыпаем на каждую точку свой кластер
  2. Сортируем попарные расстояния между центрами кластеров по возрастанию
  3. Берём пару ближайших кластеров, склеиваем их в один и пересчитываем центр кластера
  4. Повторяем п. 2 и 3 до тех пор, пока все данные не склеятся в один кластер

Сам процесс поиска ближайших кластеров может происходить с использованием разных методов объединения точек:

  1. Single linkage — минимум попарных расстояний между точками из двух кластеров
  2. Complete linkage — максимум попарных расстояний между точками из двух кластеров
  3. Average linkage — среднее попарных расстояний между точками из двух кластеров
  4. Centroid linkage — расстояние между центроидами двух кластеров

Профит первых трёх подходов по сравнению с четвёртым в том, что для них не нужно будет пересчитывать расстояния каждый раз после склеивания, что сильно снижает вычислительную сложность алгоритма.

По итогам выполнения такого алгоритма можно также построить замечательное дерево склеивания кластеров и глядя на него определить, на каком этапе нам было бы оптимальнее всего остановить алгоритм. Либо воспользоваться тем же правилом локтя, что и в k-means.

К счастью для нас в питоне уже есть замечательные инструменты для построения таких дендрограмм для агломеративной кластеризации. Рассмотрим на примере наших кластеров из K-means:

Метрики качества кластеризации

Задача оценки качества кластеризации является более сложной по сравнению с оценкой качества классификации. Во-первых, такие оценки не должны зависеть от самих значений меток, а только от самого разбиения выборки. Во-вторых, не всегда известны истинные метки объектов, поэтому также нужны оценки, позволяющие оценить качество кластеризации, используя только неразмеченную выборку.

Выделяют внешние и внутренние метрики качества. Внешние используют информацию об истинном разбиении на кластеры, в то время как внутренние метрики не используют никакой внешней информации и оценивают качество кластеризации, основываясь только на наборе данных. Оптимальное число кластеров обычно определяют с использованием внутренних метрик.

Все указанные ниже метрики реализованы в sklearn.metrics .

Adjusted Rand Index (ARI)

Предполагается, что известны истинные метки объектов. Данная мера не зависит от самих значений меток, а только от разбиения выборки на кластеры. Пусть — число объектов в выборке. Обозначим через — число пар объектов, имеющих одинаковые метки и находящихся в одном кластере, через — число пар объектов, имеющих различные метки и находящихся в разных кластерах. Тогда Rand Index это

То есть это доля объектов, для которых эти разбиения (исходное и полученное в результате кластеризации) “согласованы”. Rand Index (RI) выражает схожесть двух разных кластеризаций одной и той же выборки. Чтобы этот индекс давал значения близкие к нулю для случайных кластеризаций при любом и числе кластеров, необходимо нормировать его. Так определяется Adjusted Rand Index:

Эта мера симметрична, не зависит от значений и перестановок меток. Таким образом, данный индекс является мерой расстояния между различными разбиениями выборки. принимает значения в диапазоне . Отрицательные значения соответствуют “независимым” разбиениям на кластеры, значения, близкие к нулю, — случайным разбиениям, и положительные значения говорят о том, что два разбиения схожи (совпадают при ).

Adjusted Mutual Information (AMI)

Данная мера очень похожа на . Она также симметрична, не зависит от значений и перестановок меток. Определяется с использованием функции энтропии, интерпретируя разбиения выборки, как дискретные распределения (вероятность отнесения к кластеру равна доле объектов в нём). Индекс определяется как взаимная информация для двух распределений, соответствующих разбиениям выборки на кластеры. Интуитивно, взаимная информация измеряет долю информации, общей для обоих разбиений: насколько информация об одном из них уменьшает неопределенность относительно другого.

Аналогично определяется индекс , позволяющий избавиться от роста индекса с увеличением числа классов. Он принимает значения в диапазоне . Значения, близкие к нулю, говорят о независимости разбиений, а близкие к единице – об их схожести (совпадении при ).

Гомогенность, полнота, V-мера

Формально данные меры также определяются с использованием функций энтропии и условной энтропии, рассматривая разбиения выборки как дискретные распределения:

здесь — результат кластеризации, — истинное разбиение выборки на классы. Таким образом, измеряет, насколько каждый кластер состоит из объектов одного класса, а — насколько объекты одного класса относятся к одному кластеру. Эти меры не являются симметричными. Обе величины принимают значения в диапазоне , и большие значения соответствуют более точной кластеризации. Эти меры не являются нормализованными, как или , и поэтому зависят от числа кластеров. Случайная кластеризация не будет давать нулевые показатели при большом числе классов и малом числе объектов. В этих случаях предпочтительнее использовать . Однако при числе объектов более 1000 и числе кластеров менее 10 данная проблема не так явно выражена и может быть проигнорирована.

Для учёта обеих величин и одновременно вводится -мера, как их среднее гармоническое:

Она является симметричной и показывает, насколько две кластеризации схожи между собой.

Силуэт

В отличие от описанных выше метрик, данный коэффициент не предполагает знания истинных меток объектов, и позволяет оценить качество кластеризации, используя только саму (неразмеченную) выборку и результат кластеризации. Сначала силуэт определяется отдельно для каждого объекта. Обозначим через — среднее расстояние от данного объекта до объектов из того же кластера, через — среднее расстояние от данного объекта до объектов из ближайшего кластера (отличного от того, в котором лежит сам объект). Тогда силуэтом данного объекта называется величина:

Силуэтом выборки называется средняя величина силуэта объектов данной выборки. Таким образом, силуэт показывает, насколько среднее расстояние до объектов своего кластера отличается от среднего расстояния до объектов других кластеров. Данная величина лежит в диапазоне . Значения, близкие к -1, соответствуют плохим (разрозненным) кластеризациям, значения, близкие к нулю, говорят о том, что кластеры пересекаются и накладываются друг на друга, значения, близкие к 1, соответствуют “плотным” четко выделенным кластерам. Таким образом, чем больше силуэт, тем более четко выделены кластеры, и они представляют собой компактные, плотно сгруппированные облака точек.

С помощью силуэта можно выбирать оптимальное число кластеров (если оно заранее неизвестно) — выбирается число кластеров, максимизирующее значение силуэта. В отличие от предыдущих метрик, силуэт зависит от формы кластеров, и достигает больших значений на более выпуклых кластерах, получаемых с помощью алгоритмов, основанных на восстановлении плотности распределения.

И напоследок давайте посмотрим на эти метрики для наших алгоритмов, запущенных на данных рукописных цифр MNIST:

ARI AMI Homogenity Completeness V-measure Silhouette
K-means 0.662295 0.732799 0.735448 0.742972 0.739191 0.182097
Affinity 0.175174 0.451249 0.958907 0.486901 0.645857 0.115197
Spectral 0.752639 0.827818 0.829544 0.876367 0.852313 0.182195
Agglomerative 0.794003 0.856085 0.857513 0.879096 0.868170 0.178497

3. Домашнее задание

Актуальные домашние задания объявляются во время очередной сессии курса, следить можно в группе ВК и в репозитории курса.

В демо-версии домашнего задания предлагается поработать с данными Samsung по распознаванию видов активностей людей. Задача интересная, мы на нее посмотрим и как на задачу кластеризации (забыв, что выборка размечена) и как на задачу классификации. Jupyter-заготовка, веб-форма для ответов, там же найдете и решение.

4. Полезные источники

Статья написана в соавторстве с yorko (Юрием Кашницким). Материал статьи доступен в виде тетрадки Jupyter в GitHub-репозитории курса.

Best Binary Options Brokers 2020:
  • Binarium
    Binarium

    The Best Binary Options Broker 2020!
    Perfect Choice For Beginners!
    Free Demo Account!
    Free Trading Education!
    Get Your Sing-Up Bonus Now!

  • Binomo
    Binomo

    Only For Experienced Traders!

Like this post? Please share to your friends:
Binary Options Trading For Beginners
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: